PBW deformations arising from algebraic groups

Mackscheidt, Verity; Fourier, Ghislain Paul Thomas (Thesis advisor); Levandovskyy, Viktor (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2022, 2023)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2022

Kurzfassung

Das PBW Theorem, benannt nach den Autoren Poincaré, Birkhoff und Witt, besagt das Folgende: Für eine Lie Algebra $\mathbb{g}$, ist die assoziierte graduierte Algebra ihrer universell einhüllenden Algebra, $\text{gr}~ U(\mathbb{g})$, isomorph zu ihrer symmetrischen Algebra $S(\mathbb{g})$. Die wesentliche Idee dieser Korrespondenz besteht darin, eine graduierte Algebra - hier, $S(\mathbb{g})$ - so zu deformieren, dass sie ihre Graduierung verliert, während die assoziierte graduierte Algebra dieser Deformation unverändert bleibt. Dieses PBW Theorem motiviert die Definition von PBW Deformationen, die als genau solche Deformationen verstanden werden sollen, die die assoziierte graduierte Algebra erhalten. PBW Deformationen wurden in verschiedenen Kontexten definiert, und in dieser Arbeit konzentrieren wir uns auf solche PBW Deformationen, die aus algebraischen Gruppen stammen. Im Laufe dieser Arbeit definieren wir diese und fassen die wesentlichen bisher bekannten Resultate zu ihnen zusammen - nämlich, eine Deformation ist PBW, genau dann wenn die Deformationsabbildung eine Äquivarianzbedingung und eine verallgemeinerte Jacobi-Identität erfüllt. Hierbei handelt es sich um ein wichtiges Resultat, das von verschiedenen Autoren behandelt wurde; für unseren Kontext im Wesentlichen von Etingof-Gan-Ginzburg. Jedoch wurde dieses Resultat bisher nur in Spezialfällen in explizite Bedingungen überführt. Es gibt nach wie vor eine Vielzahl an offenen Fragen im Bereich der PBW Deformationen. Ein Fokus dieser Arbeit ist es, die folgenden beiden Fragen zu beantworten: 1) Wie können die bekannten Bedingungen an PBW Deformationsabbildungen in explizite Parametrisierungen ebendieser Abbildungen übertragen werden? 2) Wie sieht das Zentrum von PBW Deformationen aus? Der ersten Frage nähern wir uns in einem Setting von orthosymplektischen Gruppen. Hierbei verfolgen wir einen kombinatorischen Ansatz mittels einer Interpolationskategorie von Deligne. Dazu beschreiben wir zunächst eine kombinatorische Basis des Hom-Raums, in dem die Deformationsabbildungen leben, und erlegen die Jacobi-Identität auf. Dies geschieht kombinatorisch mit der Hilfe von gewissen Bogendiagrammen. Hiervon ausgehend erhalten wir bestimmte Bedingungen, die wir auf die Deformationsabbildungen übertragen können und wodurch wir explizite Resultate dazu erhalten, wie eine PBW Deformation aussehen kann. Dieses Resultat gilt für alle orthosymplektischen Gruppen, und spezialisiert zu Fällen, die von Etingof-Ganz-Ginzburg (2005) und Tsymbaliuk (2015) diskutiert wurden. Die zweite Frage wird in mehreren Schritten beantwortet, wobei diese Schritte für verschiedene Grade an Allgemeinheit gelten. Dies führt zu einer expliziten Formel für zentrale Elemente der infinitesimalen Hecke Algebra von $\mathbb{so}_2$, und einer Vermutung für eine gesamte Familie von zentralen Elementen für die infinitesimale Hecke Algebra von $\mathbb{so}_n$.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Algebra und Darstellungstheorie [114410]