Composition factors of groups and factors of their order

Krings, Marvin; Niemeyer, Alice Catherine (Thesis advisor); Glasby, Stephen (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2022)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2022

Kurzfassung

Sei \(T\) eine endliche einfache Gruppe. Zu einer endlichen Gruppe \(G\) ermitteln wir eine obere Schranke für die Zahl \(c_T(G)\) derjenigen Kompositionsfaktoren von \(G\), die zu \(T\) isomorph sind. Wir betrachten dieses Problem sowohl für nicht-abelsche als auch für abelsche \(T\) und erhalten in beiden Fällen ähnliche Ergebnisse. Unsere Schranke liegt in \(\mathcal{O}(n)\) für eine Permutationsgruppe \(G \le \Sym(n)\) und in \(\mathcal{O}(\log n)\), falls diese zusätzlich primitiv, quasiprimitiv oder semiprimitiv ist. Für den Beweis benutzen wir eine Induktion über den Permutationsgrad und, wenn \(G\) primitiv ist, den Satz von O'Nan-Scott. Für eine Matrixgruppe \(G \le \GL_d(q)\) ist unsere Schranke in \(\mathcal{O}(d)\). Diese beweisen wir, ähnlich wie die Schranken für Permutationsgruppen, indem wir \(G\) durch Matrixgruppen kleinerer Dimension und durch Permutationsgruppen ausdrücken. Eine solche Beschreibung liefert uns der Satz von Aschbacher. Die Schranke für Matrixgruppen dient uns als Induktionsvoraussetzung, um zusammen mit der Schranke für Permutationsgruppen die Behauptung für alle \(G \le \GL_d(q)\) zu zeigen. Wir erhalten als Korollar, dass aus \(c_T(G) > 0\) folgt, dass \(T\) für eine gewisse Primzahlpotenz \(q'\) in \(\PGL_d(q')\) eingebettet werden kann. In den meisten Fällen können wir sogar annehmen, dass \(q'\) und \(q\) Potenzen derselben Primzahl sind. Mithilfe dieser Beobachtung beschreiben wir diejenigen einfachen Gruppen, die als Kompositionsfaktoren einer Gruppe \(G \le \GL_d(q)\) mit \(d \le 12\) auftreten können. Außerdem untersuchen wir, welche Gruppen \(G \le \GL_d(q)\) besonders große Werte von \(c_T(G)\) im Verhältnis zu \(d\) haben. Genauer gesagt zeigen wir, dass in den meisten Fällen \(c_T(G) < \frac{d}{2}\) gilt, und wir beschreiben die Ausnahmen von dieser Schranke. Als zweites Hauptthema dieser Arbeit bestimmen wir Schranken für den \(p\)-Anteil \(\lvert G \rvert_p\) der Ordnung einer fast-einfachen primitiven Permutationsgruppe \(G \le \Sym(n)\). Das heißt, wir nehmen \(\Inn(T) \trianglelefteq G \le \Aut(T)\) für eine nicht-abelsche einfach Gruppe \(T\) an. Die Ordnung von \(\Aut(T)\) ist durch die Klassifizierung der endlichen einfachen Gruppen bekannt und beispielsweise im \glqq{}Atlas of finite groups\grqq{} aufgeführt. Für jede Gruppe \(G\) aus dieser Klassifizierung ermitteln wir eine Schranke für \(\nu_p(G) = \log_p \lvert G \rvert_p\) in Abhängigkeit von \(n\). Insgesamt gilt \(\nu_p(G) = \mathcal{O}(\sqrt{n})\) und in den meisten Fällen sogar \(\nu_p(G) = \mathcal{O}(\log n)\).