Constructive aspects of wreath products and quasiprimitive permutation groups

• Konstruktive Aspekte von Kranzprodukten und quasiprimitiven Permutationsgruppen

Bernhardt, Dominik Hans; Niemeyer, Alice Catherine (Thesis advisor); Horn, Max (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2022)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2022

Kurzfassung

1993 führte Praeger quasiprimitive Permutationsgruppen ein. Eine endliche Gruppe, die auf eine endliche Menge operiert heißt quasiprimitiv, wenn jede nichttriviale normale Untergruppe transitiv operiert. In einem Theorem ähnlich zu dem berühmten O'Nan-Scott-Theorem für primitive Gruppen klassifizierte Praeger quasiprimitive Gruppen, indem sie diese in mehrere sich gegenseitig ausschließende Klassen unterteilte. Quasiprimitive Permutationsgruppen spielen sowohl in der Theorie der Permutationsgruppen als auch bei der Untersuchung der Symmetriegruppen von Inzidenzstrukturen eine wichtige Rolle. Im Gegensatz zu beliebigen transitiven oder primitiven Permutationsgruppen gibt es jedoch keine vollständige Datenbank für quasiprimitive Gruppen bis zu einem bestimmten Grad. Ein Hauptergebnis dieser Arbeit ist die Konstruktion einer Datenbank aller quasiprimitiven, aber imprimitiven Permutationsgruppen - genannt quimp-Gruppen - mit einem Grad von höchstens 4095. Zusammen mit der Datenbank der primitiven Gruppen vom Grad höchstens 4095, die mit Beiträgen vieler Autoren erstellt wurde, ist nun eine Datenbank aller quasiprimitiven Permutationsgruppen vom Grad höchstens 4095 verfügbar. Praeger und Baddeley haben die ursprüngliche Klassifizierung verfeinert und die quasiprimitiven Gruppen in acht sich gegenseitig ausschließende Klassen unterteilt. Um alle quasiprimitiven Gruppen mit einem Grad von höchstens 4095 zu konstruieren, stellen wir zunächst fest, dass drei der acht Typen quasiprimitiver Gruppen, nämlich Gruppen vom HA-, HS- und HC-Typ, immer primitiv sind und dass der minimale Permutationsgrad einer quimp-Gruppe vom SD- oder CD-Typ unsere Gradgrenze überschreitet. Für die verbleibenden drei Typen quasiprimitiver Gruppen, AS-Typ, PA-Typ und TW-Typ, stellen wir die Strukturtheorie und Algorithmen vor, um solche Gruppen mit einem bestimmten Grad zu konstruieren. Unsere Ergebnisse sind im GAP-Paket QuimpGrp verfügbar, das parallel zu dieser Arbeit entwickelt wurde. Viele (quasi-)primitive Gruppen entstehen als Untergruppen von Kranzprodukten. Das zweite Hauptergebnis dieser Arbeit ist eine konstruktive Beschreibung der Konjugiertenklassen und Zentralisatoren sowie die Lösung des Konjugiertenproblems für Kranzprodukte, bei denen die Basisgruppe eine beliebige Gruppe ist und die Topgruppe treu auf einer endlichen Menge operiert. Unser Ansatz ist inspiriert von Ideen, die ursprünglich von Ore, Specht, James und Kerber entwickelt wurden. Unsere Theorie ist so formuliert, dass sie sich direkt implementieren lässt. Unsere Ergebnisse sind in einem GAP-Paket von Rober implementiert.