Branching cones and polytopes for Lie algebras

Kalmbach, Daniel; Fourier, Ghislain (Thesis advisor); Littelmann, Peter (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2022)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2022

Kurzfassung

Ziel dieser Arbeit ist es, verschiedene Aspekte des Branchings von Lie Algebren zu beleuchten. Wir wollen neue Ergebnisse präsentieren und in einen Kontext mit bereits bekannten setzen. Daher werden wir sie alle im selben Modell präsentieren, wobei wir die Theorie der birationalen Sequenzen von Fang, Feigin und Littelman [10] verwenden und erweitern werden. Wir werden Branchingkegel einführen und erklären, wie man diese in der String-Parametrisierung für die Branchings von B_n, C_n, D_n über A_n−1 explizit beschreiben kann, wobei wir Ergebnisse von Littelmann [29], [28] und Berenstein-Zelevinsky [4] nutzen. Danach werden wir Branchingpolytope studieren und unsere Ergebnisse in Lusztigs Parametrisierung übersetzen. Sowohl die String- als auch die Lusztig-Parametrisierung können in der Sprache der birationalen Sequenzen beschrieben werden. Dies erlaubt es uns, unsere Ergebnisse im selben Modell zu beschreiben wie Ergebnisse über andere Branchings, die nicht in den genannten Parametrisierungen beschrieben werden können. Wenn wir mit birationalen Sequenzen arbeiten müssen wir eine gewichtete Ordnung auf Z^N_≥0 fixieren. Wir wählen die höhengewichtete entgegengesetzte lexikographische Ordnung und wollen rechtfertigen, weshalb wir diese Wahl als natürlich ansehen um Branchings zu untersuchen. Daher werden wir die Arbeiten anderer Autoren in die Sprache der birationalen Sequenzen übersetzen und zeigen, dass wir - manchmal mit Hilfe kleiner Änderungen der Sequenzen- dieselben Ergebnisse erhalten, wenn wir unsere Lieblingsordnung verwenden. In diesem Kontext werden wir auch erstmals Einbettungen betrachten, die nicht vom Levi-Typ sind. Wir möchten unsere Ordnung auch benutzen, um Branchings zu untersuchen, die durch die Faltung von Dynkin-Diagrammen beschrieben werden. Dafür müssen wir zunächst die Definition der birationalen Sequenzen verallgemeinern. Für diese Branchings werden wir nur Vermutungen über die Branchingkegel und -polytope formulieren können, aber diese sind zumindest in allen überprüften Beispielen korrekt und unsere Stategie um sie aufzustellen erscheint sinnvoll. Wir nennen diese eine Faltung von Ungleichungen. Insgesant werden wir drei ziemlich verschiedene Stategien kennenlernen, um Ungleichungen für Branchingkegel und -polytope zu berechnen, da jeder Typ von Branching seine Besonderheiten hat. Am Ende dieser Arbeit werden wir die Verbindung unserer Ergebnisse zu Branchingalgebren und wie man aus diesen torische Degenerierungen erhält erklären.