An L 3 -U 3 -quotient algorithm for finitely presented groups

• Ein L3-U3-Quotientenalgorithmus für endlich präsentierte Gruppen

Jambor, Sebastian; Plesken, Wilhelm (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2012)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2012

Kurzfassung

Die Dissertation beschreibt die Entwicklung eines L3-U3-Quotientenalgorithmus für endlich präsentierte Gruppen auf zwei Erzeugern, der alle Faktorgruppen einer endlich präsentierten Gruppe auflistet, die isomorph sind zu einer der Gruppen PSL(3, q), PSU(3, q), PGL(3, q) oder PGU(3, q). Dabei ist q eine beliebige Primzahlpotenz, die nicht Teil der Eingabe ist, das heißt, der Algorithmus findet selbständig alle möglichen Wahlen für q. Die Motivation für einen solchen Algorithmus ist es, endlich präsentierte Gruppen zu untersuchen und zu verstehen. Ergebnisse aus den Fünfzigerjahren des letzten Jahrhunderts zeigen, dass fundamentale Fragen, die diese Gruppen betreffen, im Allgemeinen nicht entscheidbar sind. Das berühmteste unter ihnen ist das sogenannte Wortproblem, das besagt, dass es keinen Algorithmus gibt, der die Gleichheit von zwei Elementen einer endlich präsentierten Gruppe testen kann. Dennoch wurden erfolgreich Algorithmen entwickelt, die strukturelle Aussagen über solche Gruppen treffen können. Eine Klasse solcher Algorithmen sind die Quotientenalgorithmen, die für eine gegebene endlich präsentierte Gruppe alle Faktorgruppen einer gewissen Struktur zu bestimmen. Bis vor wenigen Jahren waren alle diese Algorithmen entweder auf eine endliche Menge von Faktorgruppen oder auf auflösbare Gruppen begrenzt. Im Jahr 2009 entwickelten Plesken und Fabia'nska einen Algorithmus, der Faktorgruppen einer unendliche Klasse von nicht-auflösbaren endlichen Gruppen betrachtet. Er bestimmt alle Faktorgruppen einer endlich präsentierten Gruppe G, die isomorph sind zu einer der Gruppen PSL(2, q) oder PGL(2,q), gleichzeitig für alle Primzahlpotenzen q. Die vorligende Doktorarbeit ist eine Weiterentwicklung dieser Ideen. Für die Formulierung des Algorithmus werden Ergebnisse aus der Darstellungstheorie und aus der kommutativen Algebra benötigt. Diese werden in der Arbeit formuliert und bewiesen. Der Charakter einer Darstellung ist seit über hundert Jahren ein wichtiges Hilfsmittel in der gewöhnlichen Darstellungstheorie, also von Darstellungen endlicher Gruppen über Körpern von Charakteristik Null. Die Resultate dieser Arbeit zeigen, dass er auch für Darstellungen beliebiger Gruppen in beliebiger Charakteristik als wertvolles Hilfsmittel angewandt werden kann. Eine Methode aus der kommutativen Algebra ist die Bestimmung von minimalen assoziierten Primidealen eines Ideals. In der Dissertation wird ein Algorithmus vorgestellt, der die Laufzeiten bestehender Algorithmen für wichtige Beispiele verbessert. Die Ergebnisse sowohl der Darstellungstheorie als auch der kommutativen Algebra werden in der Arbeit auf den Algorithmus angewandt, sie sind aber auch von allgemeinem Interesse. Der L3-U3-Quotientenalgoritmus ist im Computeralgebrasystem Magma implementiert. Diese Implementation wird angewandt, um zahlreiche Beispiele von endlich präsentierten Gruppen zu untersuchen. Außerdem werden die Resultate der Arbeit angewandt, um Verallgemeinerungen von Resultaten von P. Hall und Lubotzky zu beweisen.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Algebra und Darstellungstheorie [114410]