Rational forms of finite matrix groups

Jongen, Jan; Plesken, Wilhelm (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2012)
Doktorarbeit

Kurzfassung

Sei k ein perfekter Körper, K/k eine endliche {sc Galois} Erweiterung mit {sc Galois} Gruppe Gamma und G eine endliche Untergruppe von GL_n(overline{k}). Als endliche Untergruppe der algebraischen Gruppe GL_n(overline{k}), ist auch G eine algebraische Gruppe. Es zeigt sich, dass der Invariantenring von G genau dann Erzeuger mit rationalen Koeffizienten besitzt, wenn G über k definiert ist. Die Arbeit konzentriert sich nun auf die folgenden drei fundamentalen Fragen: 1) Falls G nicht über k definiert ist, ist es möglich G in eine über k definiert Gruppe G' zu transformieren? Eine solche Gruppe G' wird eine k-Form von G genannt. Falls G' zusätzlich eine Untergruppe von GL_n(K) ist, so heisst G' eine (K/k)-Form von G (Existenz). 2) Wie viele nicht äquivalente, das heisst über GL_n(k) nicht konjugierte, (K/k)-formen von G gibt es? (Klassifikation). 3) Welche arithmetischen Eigenschaften besitzt eine über k-definierte endliche Matrixgruppe G? (Arithmetik). Die Klassifikation der (K/k)-Formen von G ist im Wesentlichen durch die bis auf Konjugation in Aut(G) verschiedenen Einbettungen Gamma o Aut(G) beantwortet. Hinzu kommen einige technische Voraussetzungen an die Gamma-Operation auf G. Mithilfe der {sc Brauer-Clifford} Theorie werden für die Existenz einer (K/k)-Form von G hinreichende und notwendige Bedingungen an den Körper K hergeleitet. Diese sind ausreichend, um die Existenzfrage für endliche Körper und die reellen Zahlen vollständig zu entscheiden. Die arithmetische Theorie der (K/k)-Formen von G basiert auf einer Korrespondenz zwischen ebensolchen Formen und Moduln über speziellen getwisteten Gruppenringen K* (G times Gamma). Die Begriffe des (komplexen) Charakters und des {sc Schur} Index werden auf getwistete Gruppenringe verallgemeinert. Desweiteren werden Induktion und Restriktion für komplexe K*(G times Gamma)-Charaktere entwickelt. Falls der Körper K eine kanonische komplexe Konjugation besitzt, so existiert eine kanonische Involution auf K*(G times Gamma).

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