Single-class genera of orthogonal groups

• Einklassige Geschlechter orthogonaler Gruppen

Lorch, David; Kirschmer, Markus (Thesis advisor); Nebe, Gabriele (Thesis advisor)

Aachen (2019, 2020)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Kurzfassung

Die vorliegende Arbeit gibt eine Klassifikation der Ähnlichkeitsklassen einklassiger Geschlechter total definiter Gitter in quadratischen Räumen von Rang m >= 3 über totalrellen Zahlkörpern.Der Satz von Hasse-Minkowski zeigt ein "Lokal-Global-Prinzip" für quadratische Vektorräume über Zahlkörpern K: zwei reguläre quadratische Räume über K sind genau dann isometrisch, wenn sie über jeder Komplettierung von K isometrisch sind. Dieses Prinzip ist für Gitter in quadratischen Vektorräumen über Zahlkörpern im Allgemeinen falsch. Die Menge aller Gitter in einem regulären quadratischen Vektorraum V, die über jeder Komplettierung isometrisch zu einem gegebenen Gitter L in V sind, ist jedoch endlich. Diese Menge nennt man das "Geschlecht" von L. Einklassige Gitter sind Gitter, deren Geschlecht nur aus einer einzigen Isometrieklasse besteht. Diese erfüllen also im Gegensatz zur allgemeinen Situation ein Lokal-Global-Prinzip für Isometrie. Bei total definiten Gittern L über totalreellen Zahlkörpern K ist dieser Fall sehr selten. Für den Spezialfall K=Q zeigte G. L. Watson, dass definite, einklassige Gitter L nur auftreten können falls m <= 10, und veröffentlichte eine unvollständige Klassifikation. Für allgemeine totalreelle Zahlkörper zeigte Pfeuffer die Endlichkeit des Klassifikationsproblems, und bewies, dass m <= 16.Die vorliegende Arbeit beginnt mit dem Beweis von Schranken an die Invarianten einklassiger, quadratfreier, total definiter Gitter L (und ihrer einhüllenden quadratischen Räume V) über totalreellen Zahlkörpern K. Diese basieren auf Pfeuffers Ergebnissen auf Basis von Siegels Maßformel. Aus der Maßformel folgen auch Schranken an die Wurzeldiskriminante von K, die scharf genug sind, um alle infrage kommenden Körper in bereits veröffentlichten Tabellen zu finden. Über einem gegebenen Grundkörper K ermöglicht ein Algorithmus, der auf O'Mearas Klassifikation von Gittern über lokalen Körpern basiert, die Konstruktion von Vertretern aller Geschlechter von Gittern, die die Schranken an die Invarianten erfüllen. Ferner wird ein Algorithmus entwickelt, der Vertreter aller Isometrieklassen in einem Geschlecht aufzählen kann. Für total definite Gitter muss hier zunächst mit dem Kneserschen Nachbarschaftsverfahren das Spinorgeschlecht eines Gitters ausgezählt werden. Es folgt eine Beschreibung, wie sich die verschiedenen Spinorgeschlechter im Geschlecht über geeignete Konstruktionen von benachbarten Gittern miteinander verbinden lassen, sodass das gesamte Geschlecht ausgezählt werden kann. Schließlich folgt die vollständige Klassifikation der einklassigen, total definiten Gitter aus einem Abstiegsalgorithmus, der auf gewisse einklassige, total definite, quadratfreie Gitter angewandt wird. Dieser Algorithmus basiert auf Reduktionsmethoden von Watson und Gerstein.