Jet groupoids, natural bundles and the Vessiot equivalence method

  • Jetgruppoide, Natürliche Bündel und die Vessiotsche Äquivalenzmethode

Lorenz, Arne; Plesken, Wilhelm (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2009)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2009

Kurzfassung

Diese Arbeit behandelt die Äquivalenz von differentialgeometrischen Objekten. Ausgehend von einer Veröffentlichung von Vessiot von 1903 wird eine Methode zur Feststellung von Äquivalenz entwickelt. Sie soll eine Alternative zum Cartanschen Zugang darstellen. Zusätzlich zur Theorie wird eine Implementation der Methoden vorgestellt. Die Vessiotsche Äquivalenzmethode ist in der Sprache der Differentialgeometrie formuliert. Um geometrische Objekte zu beschreiben, wird das zentrale Konzept der natürlichen Bündel eingeführt. Mit ihrer Hilfe kann die Äquivalenz von geometrischen Objekten überprüft werden. Dazu werden Symmetrien der Objekte und Invarianten benötigt. Lie und Vessiot haben gezeigt, dass die Koordinatentransformationen von natürlichen Bündeln benutzt werden können, um die Symmetrien von geometrischen Objekten zu beschreiben. Dies geschieht in Form von partiellen Differentialgleichungen. Im Allgemeinen sind diese Differentialgleichungen nicht integrabel, d.h. man erhält durch formales Differenzieren und Eliminieren weitere Gleichungen niedrigerer Ordnung. In der vorliegenden Arbeit werden die vorhandenen Methoden weiterentwickelt, um Integrabilität zu überprüfen. Weiter wird gezeigt, wie die Gleichungen effizient zu einem integrablen System vervollständigt werden können. Für alle diese Schritte werden natürliche Bündel verwendet. Zur Beschreibung der Differentialgleichungen wird ein geometrischer Zugang von Spencer verwendet, der den Jet-Formalismus benutzt. Eine Differentialgleichung wird dabei als Mannigfaltigkeit angesehen. Im Fall der Symmetriegleichungen hat diese Mannigfaltigkeit die Struktur eines Jetgruppoids. Diese Struktur ist wichtig, um die Integrabilität der Differentialgleichungen mit Hilfe natürlicher Bündel zu entscheiden. Im Zuge der Vervollständigung der Symmetriegleichungen zu einem integrablen System treten Invarianten auf. Die Vessiotsche Äquivalenzmethode berechnet ein Erzeugendensystem für die Invarianten. Mit Hilfe der Symmetrien und der Invarianten ist es möglich die Äquivalenz von zwei geometrischen Objekten zu überprüfen. Dazu müssen die Symmetrien identisch sein und die Invarianten übereinstimmen. Die Vessiotsche Äquivalenzmethode wird mit Cartans Zugang verglichen. Hier ist es möglich, zentrale Konstruktionen von Cartan im Kontext von Vessiot zu interpretieren. Weiterhin wird Vessiots Methode auf Beispiele von linearen partiellen Differentialoperatoren angewendet, um Erzeugendensysteme für die Invarianten unter Eichtransformationen zu berechnen. Hier konnten Erzeugendensysteme von Invarianten für Operatoren dritter und vierter Ordnung in der Ebene berechnet werden. Die Ergebnisse vierter Ordnung sind neu.

Identifikationsnummern