Counting solutions of differential equations

  • Zählen von Lösungen von Differentialgleichungen

Lange-Hegermann, Markus; Plesken, Wilhelm (Thesis advisor)

Aachen (2014)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2014

Kurzfassung

Differentialgleichungssysteme sind notorisch schwer zu lösen, und viele solcher Systeme haben keine Lösungen aus „elementaren” Funktionen in geschlossener Form. Trotzdem gibt es immer bessere Heuristiken in Computeralgebrasystemen, um Lösungen zu finden. Bei solchen von einem Computeralgebrasystem ausgegeben Lösungen bleibt die Frage offen, ob diese Lösungen bereits alle Lösungen sind. Das Ziel dieser Arbeit ist eine quantitative Analyse von Lösungsmengen von Differentialgleichungssystemen, mit der man entscheiden kann, ob die Lösungen, welche von einem heuristischen Algorithmus gefunden wurden, bereits die vollständige Lösungsmenge bilden. Dafür behandelt diese Arbeit drei Beschreibungen der Größe der Lösungsmenge eines Differentialgleichungssystems: das differentielle Dimensionspolynom, die Zählsequenz und das differentielle Zählpolynom. Das differentielle Dimensionspolynom wurde von Kolchin eingeführt, um die Größe der Lösungsmenge eines Differentialprimideals zu beschreiben, indem es die generische Anzahl der freien Potenzreihenkoeffizienten in jeder Ordnung angibt. Diese Arbeit verallgemeinert das differentielle Dimensionspolynom und seine Invarianz unter differentiell birationalen Abbildungen von Differentialprimidealen auf Ideale, welche von sogenannten einfachen differentiellen Systemen stammen. Das differentielle Dimensionspolynom beinhaltet genügend Daten, um zuverlässig die Frage beantworten zu können, ob zwei Lösungsmengen von Idealen einfacher differentieller Systeme gleich sind. Dies ist hinreichend für die Betrachtung der meisten gebräuchlichen Differentialgleichungssysteme. Für eine Beschreibung, die nicht nur generische Aspekte betrachtet, führt diese Arbeit die Zählsequenz ein. Die Zählsequenz gibt eine präzise Beschreibung der Menge der Taylor-Polynome von Lösungen, insbesondere werden endliche und abzählbar unendliche Ausnahmemengen berücksichtigt. Wenn es ein Polynom gibt, das ultimativ die Zählsequenz beschreibt, dann wird dieses Polynom das differentielle Zählpolynom genannt. Es ist bekannt, dass es keinen Algorithmus geben kann, welcher die Zählsequenz oder das differentielle Zählpolynom berechnet. In dieser Arbeit werden dennoch die Zählsequenz und das differentielle Zählpolynom von einigen wichtigen Klassen von Differentialgleichungssystemen berechnet, insbesondere von linearen Differentialgleichungssystemen, den meisten gebräuchlichen semilinearen Differentialgleichungssystemen und von quasilinearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung. Damit ist also die Existenz der Zählsequenz und des differentiellen Zählpolynoms für diese Klassen von Differentialgleichungssystemen gezeigt. Diese beiden Beschreibungen der Größe der Lösungsmenge eines Differentialgleichungssystems können entscheiden, ob zwei ineinander enthaltene Lösungsmengen gleich sind, sobald keine abzählbar unendlichen Ausnahmemengen auftreten. Sowohl das differentielle Dimensionspolynom, die Zählsequenz als auch das differentielle Zählpolynom bestimmen klassische Beschreibungen der Größe der Lösungsmenge eines Differentialgleichungssystems, darunter die Anzahl der frei wählbaren Funktionen, die Cartan-Charaktere, Einsteins Stärke und klassische Invarianten der Differentialalgebra wie den differentiellen Typ, die differentielle Dimension und die typische Dimension. Der Thomas-Algorithmus, welcher als Teil dieser Arbeit implementiert wurde, ist die algorithmische Grundlage der Beschreibung der Größe von Lösungsmengen. Dieser Algorithmus partitioniert Lösungsmengen in Lösungsmengen einfacher Systeme. Damit kann man sowohl das differentielle Dimensionspolynom als auch weitere Konsequenzen von Differentialgleichungssystemen ausrechnen.

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