Simpliziale Flächen aus kongruenten Dreiecken : kombinatorische Grundlagen und geometrische Beispiele

• Simplicial surfaces with congruent faces : combinatorial foundations and geometric examples

Strzelczyk, Ansgar Werner; Plesken, Wilhelm (Thesis advisor); Niemeyer, Alice Catherine (Thesis advisor)

Aachen (2019)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Kurzfassung

Das Ziel dieser Dissertation ist das Studium simplizialer Flächen aus kongruenten Dreiecken. Zu diesem Studium gehören zwei wesentliche Aspekte: dieTheorie kombinatorischer simplizialer Flächen und die Einbettungstheorie simplizialer Flächen in den dreidimensionalen euklidischen Raum. Zu Beginn dieser Arbeit werden die Grundlagen kombinatorischer simplizialer Flächen wiederholt. Es handelt sich bei simplizialen Flächen um Inzidenzgeometrien. Um einen neuen Umgang mit den Flächen zu ermöglichen, wird ein Operatorzugang zur Konstruktion und Analyse der kombinatorischen simplizialen Flächen vorgestellt. Anhand der Operatoren lassen sich die Flächen nicht nur miteinander vergleichen, sondern auch detailliert konstruieren. Die Operatoren lassen sich bei für die simplizialen Flächen als Mannigfaltigkeiten im euklidischen Raum nur schematisch übertragen. Im Gegensatz zu den Operatoren gibt es eine Verfahren, um die Zerlegung simplizialer Flächen auf kombinatorischer Ebene mit einer Zerlegung der Fläche als Mannigfaltigkeit auf natürliche Weise zu übertragen. Die notwendige Eigenschaft der simplizialen Flächen sind ausgezeichnete, geschlossene Pfade von Kanten der Länge 2 und 3. Sie werden2-Taillen und 3-Taillen genannt und erlauben es, die Fläche in kleinere Blöcke zu trennen. Umgekehrt lässt sich jede Realisierung im euklidischen Raum auf die Realisierung dieser Blöcke eindeutig zurückführen. Dieses Ergebnis wird als Kriterium, ein minimaler Baublock zu sein, festgehalten. So lassen sich besondere Klassen simplizialer Flächen definieren. Auf der kombinatorischen Seite wird darauffolgend eine Konstruktion aller sphärischen Baublöcke angegeben. Anschließend werden statt allgemeiner simplizialer Flächen solche aus kongruenten Dreiecken studiert. Dazu wird in dem nächsten Schritt die Kongruenz der Dreiecke für abstrakte Dreiecke definiert. Sie drückt sich durch spezielle Kantenfärbungen der simplizialen Fläche aus. Die Kantenfärbung imitiert das Kriterium für Kongruenz von Dreiecken im euklidischen Raum, dass Dreieckegenau dann kongruent zueinander sind, wenn sie drei gleiche Kantenlängen besitzen. Die Kantenfärbung und damit auch Kongruenz wird gruppentheoretisch als Involutionen der symmetrischen Gruppe auf den Dreiecken verstanden und studiert. Durch diesen Zugang können Algorithmen zur Bestimmung aller zulässiger Färbungen formuliert werden. Ebenfalls wird ein Algorithmus zur Bestimmung aller simplizialer Flächen mit und ohne vorgegebene Kantenfärbung präsentiert. Im darauffolgenden Teil wird die Theorie der Realisierungen gefärbter simplizialer Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum intensiver studiert. Die Realisierungsfrage lässt sich durch Ideale und Varietäten auf zwei Weisen formulieren. Im ersten Fall wird das Ideal der Realisierung über dem Polynomring der Koordinaten beschrieben. Im zweiten Fall wird das Ideal über den Einträgen der Grammatrix der Realisierung ausgedrückt. Da das allgemeine Problem, alle Realisierungen einer simplizialen Fläche zu bestimmen, rechnerisch sehr schwierig ist, werden zunächst vereinfachende zusätzliche Erzeuger zu dem Ideal benannt. Diese Erzeuger reduzieren die Lösungsmenge auf spezielle Realisierungen, zum Beispiel solcher, die auf den Ecken injektiv sind. Anschließend wird eine weitere Spezialisierung der Problemstellung durch Vorgabe von Symmetrie präsentiert. Zu Ende werden umfangreiche Daten zu den vorgestellten 2- und 3-Taillen-freien Flächen bereitgestellt. Diese beinhalten viele Realisierungen.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Algebra und Darstellungstheorie [114410]